1.22.1 Συντελεστές Fourier : fourier_an και fourier_bn ή fourier_cn
Έστω f μια T-περιοδική συνάρτηση στο
ℝ η οποία είναι συνεχής εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν η f είναι συνεχής στο x, τότε :
όπου οι συντελεστές an, bn, n∈ N, (ή cn, n ∈ Z) είναι οι
συντελεστές Fourier της f.
Η εντολή
fourier_an και
fourier_bn ή
fourier_cn
υπολογίζει αυτούς τους συντελεστές.
fourier_an
fourier_an παίρνει 4 η 5 ορίσματα : μια παράσταση expr
που εξαρτάται από μια μεταβλητή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την
περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (ως προεπιλογή a=0).
fourier_an(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή
Fourier an μιας
συνάρτησης f
μεταβλητής x που ορίζεται στο [a,a+T[ από f(x)=expr και τέτοια ώστε
f να είναι περιοδική με περίοδο T:
Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε
assume(n,integer)
πριν καλέσουμε την
fourier_an για να βεβαιώσουμε
ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παράδειγμα : Έστω η συνάρτηση f, με περίοδο T=2, που ορίζεται στο [−1,1[ από την
f(x)=x2.
Για να υπολογίσουμε τον συντελεστή a0 εισάγουμε:
fourier_an(x^
2,x,2,0,-1)
Έξοδος :
1/3
Για τον συντελεστή an (n≠ 0) εισάγουμε:
assume(n,integer);fourier_an(x^
2,x,2,n,-1)
Έξοδος :
4*(-1)^
n/(pi^
2*n^
2)
fourier_bn
fourier_bn παίρνει 4 ή 5 ορίσματα : μια παράσταση expr
που εξαρτάται από μια μεταβήτή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την
περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (απο προεπιλογή a=0).
fourier_bn(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή
Fourier bn μιας
συνάρτησης f μεταβλητής x που ορίζεται στο [a,a+T[ από f(x)=expr και περιοδική με περίοδο T:
Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε
assume(n,integer)
πριν καλέσουμε την
fourier_bn για να βεβαιώσουμε
ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παραδείγματα
-
Έστω η συνάρτηση f, περιόδου T=2, ορισμένη στο [−1,1[ από την
f(x)=x2.
Για τον συντελεστή bn (n≠ 0) εισάγετε :
assume(n,integer);fourier_bn(x^
2,x,2,n,-1)
Έξοδος :
0
- Έστω η συνάρτηση f, περιόδου T=2, ορισμένη στο [−1,1[ από την
f(x)=x3.
Για τον συντελεστή b1 εισάγετε :
fourier_bn(x^
3,x,2,1,-1)
Έξοδος :
(2*pi^
2-12)/pi^
3
fourier_cn
fourier_cn παίρνει 4 ή 5 ορίσματα : μια παράσταση expr
που εξαρτάται από μια μεταβήτή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την
περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (από προεπιλογή a=0).
fourier_cn(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή
Fourier cn μιας συνάρτησης
f μεταβλητής x ορισμένης στο [a,a+T[ από την f(x)=expr και περιοδική με περίοδο T:
Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε
την
assume(n,integer) πριν να καλέσουμε την
fourier_cn
για να βεβαιώσουμε ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παραδείγματα
-
Βρείτε τους συντελεστές Fourier cn της περιοδικής συνάρτησης f
περιόδου 2 και ορισμένης στο [−1,1[ ως f(x)=x2.
Εισάγετε, για να πάρετε c0 :
fourier_cn(x^
2,x,2,0,-1)
Έξοδος:
1/3
Εισάγετε, για να πάρετε cn :
assume(n,integer)
fourier_cn(x^
2,x,2,n,-1)
Έξοδος:
2*(-1)^
n/(pi^
2*n^
2)
- Βρείτε τους συντελεστές Fourier cn της περιοδικής συνάρτησης f, περιόδου
2, και ορισμένης στο [0,2[ ως f(x)=x2.
Εισάγετε, για να πάρετε c0 :
fourier_cn(x^
2,x,2,0)
Έξοδος:
4/3
Εισάγετε, για να πάρετε cn :
assume(n,integer)
fourier_cn(x^
2,x,2,n)
Έξοδος:
((2*i)*pi*n+2)/(pi^
2*n^
2)
- Βρείτε τους συντελεστές Fourier cn της περιοδικής συνάρτησης f
περιόδου 2.π και ορισμένης στο [0,2.π[ ως f(x)=x2.
Είσοδος :
assume(n,integer)
fourier_cn(x^
2,x,2*pi,n)
Έξοδος :
((2*i)*pi*n+2)/n^
2
Αν δεν βεβαιώσετε ότι n είναι ακέραιος με την εντολή
assume(n,integer), το αποτέλεσμα δεν θα μπορεί
να απλοποιηθεί :
((2*i)*pi^
2*n^
2*exp((-i)*n*2*pi)+2*pi*n*exp((-i)*n*2*pi)+
(-i)*exp((-i)*n*2*pi)+i)/(pi*n^
3)
Θα μπορούσαμε να απλοποιήσουε αυτήν την παράσταση αντικαθιστώντας το
exp((-i)*n*2*pi) με 1, Εισαγωγή :
subst(ans(),exp((-i)*n*2*pi)=1)
Έξοδος :
((2*i)*pi^
2*n^
2+2*pi*n+-i+i)/pi/n^
3
Αυτή η παράσταση απλοποιείται τότε με την
normal, και το τελικό αποτέλεσμα είναι :
((2*i)*pi*n+2)/n^
2
Επομένως, για n ≠ 0, cn=2inπ+2/n2.
Όπως φαίνεται σε αυτό το παράδειγμα, ειναι προτιμότερο να εισάγουμε
assume(n,integer) πριν καλέσουμε
fourier_cn.
Πρέπει να υπολογίσουμε επίσης cn για n=0, εισάγουμε :
fourier_cn(x^
2,x,2*pi,0)
Έξοδος :
4*pi^
2/3
Επομένως, για n= 0, c0=4.π2/3.
Σχόλια :
-
Εισάγουμε
purge(n) για να άρουμε την υπόθεση που έγινε
για το n.
- Εισάγουμε
about(n) ή
assume(n), για να μάθουμε ποια υπόθεση έγινε
για το n.